Trigonométriques des angles 45° et 60°

Rappel

Quelles sont les formules pour les fonctions suivants :

1. tangz
2. cosz

Rappel

$tan⁡z=\frac{sin⁡z}{cos⁡z}\\ cot⁡z=\frac{cos⁡z}{sin⁡z}$

Motivation

Combien de degré contient un quadrant ?

Motivation

Un quadrant contient 90°.

Quel angle obtient-on lorsqu'on partage le quadrant en 2 parties et en 3 parties ?

Si on partage le quadrant en deux parties, on obtient 45° et en 3 parties, on obtient 60°.

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui, nous allons étudier les rapports trigonométriques des angles 45° et 60°.

Analyse

LES RAPPORTS TRIGONOMETRIQUES DES ANGLES 45° ET 60°.

1. L’angle 45°

Le triangle pop’ est isocèle d’après le théorème de Pythagore :

$(op') ̅=(p'p) ̅=(op'') ̅ (op) ̅^2=op'^{-2}+(pp') ̅^2 (op) ̅^2=(pp') ̅^2+(pp') ̅^2\\ (pp) ̅^2=2(pp') ̅^2\\ (pp) ̅^2=2(pp' ) ̅^2\\ 1/2=2(pp'' ) ̅^2\\ (pp'') ̅^2=\frac{1}{2}\\ r=(op' ) ̅=cos⁡x\\ coz=\frac{\sqrt[]{2}}{2}\\ tg45°=1\\ cot⁡ 45°=1\\ sec⁡ 45°=\sqrt[]{2}\\ cosee 45°=\sqrt[]{2}$

1. Angle 60°

Le triangle OPA est isocèle : $(op) ̅=(Ap) ̅.$

Dans le triangle $(opp') ̅,$, on a :.

$(op) ̅^2=(op') ̅^2,+(op') ̅^2⟺R^2=(R/2)^2+(op') ̅^2\\ ⇔(op') ̅^2=R^2-\frac{R^2}{4}\\ =\frac{4R^2-R^2}{4}\\ =\frac{3R^2}{4}\\ pp' ̅=\sqrt[]{\frac{3}{4}}\\ =\frac{\sqrt[]{3}}{2}\\ pp' ̅=op'' ̅=sin⁡ 60°=\sqrt[]{\frac{3}{2}}$

Déterminez la tangente de 45° et sec de 60°

Déterminez la cotangente de 60° et le cosee de 45°.

$tan⁡ 45°=\frac{sin⁡ 45°}{cos⁡ 45°} =\frac{\frac{\sqrt[]{2}}{2}}{\frac{\sqrt[]{2}}{2}}=\frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{2}}=\frac{\sqrt[]{2}.\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{2}.\sqrt[]{2}}=1$

$cot⁡ 60°=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt[]{2}}{2}}=\frac{1}{\sqrt[]{2}}=\frac{\sqrt[]{2}}{3}\\ osee 45°=\frac{1}{cos⁡ 45°} =\frac{1}{\frac{\sqrt[]{2}}{2}}=1.\frac{2}{\sqrt[]{2}}\\ =\frac{2\sqrt[]{2}}{2}=2.$