Système d’équation du second degré

a. Rappel

Résoudre dans IR, l’équation suivant :

$\frac{2}{1+t}-\frac{5}{3t-1}≤ 0$

a. Rappel

La résolution de l'équation suivante dans IR:

$\frac{2(3t-1)-5(1+t)}{(1+t)(3t-1)}≤0$     <==˃6t-2-5-5t=0

             t-7= 0

             t= 7

S=]-Ꝏ,7]

b. Motivation

Donnez deux exemples dont l’un est une équation du second degré et l’autre du 1^er degré ?

b. Motivation

Y= -x²+3x-6       et      y-2x+8= 0

Que forment ces deux équations données ?

$\left\{ \begin{array}{rcr} y= -x^2+3x-6 \\ y-2x+8=0 \\ \end{array} \right.$

Ces équations forment un système d'équation du second degré.

$\left\{ \begin{array}{rcr} y= -x^2+3x-6 \\ y-2x+8=0 \\ \end{array} \right.$

c. Annoncé du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

c. Annoncé du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier le système d’équation du second degré.

Qu’appelle-t-on le système d’équation du second degré ?

Systèmes d’équations du second degré

a. Définition : on appelle système d’équation du second degré tout système dont l’une des équations au moins est du second degré.

b. Type : on distingue :

b.1. Système où une des équations est du 1^erdegré et l’autre du second degré.

Comment peut-on résoudre un système d’équation si l’un est du 1^erdegré ?

Règle de résolutions : on tire l’une des inconnues dans l’équation du 1^erdegré et on remplace dans l’équation du second degré.

Exemple : résoudre dans IR² le système d’équations suivant :

$\left\{ \begin{array}{rcr} y= -x^2+3x-6 & (1)\\ y-2x+8=0 & (2)\\ \end{array} \right.$

De (2) tirons   y.

(3)         (3) dans (1)

2x-8=-x²+3x-6

X²-3x+6+2x-8= 0

X²-x-2= 0 

∆= (-1)²-4(1)(-2)

   =9

$\sqrt[]{∆} = ± \sqrt[]{9}$

=±3

Si x= 2                         si x= -1

   Y= 2.2-8                       y= 2(-1)-8

   Y= -4                               = -10

S= {(2,-4), (-1,-10)}

Comment peut-on résoudre un système d’équation où les deux équations sont du second degré ?

b.2. Système où les deux équations sont du second degré.

Règle de résolution : on élimine une des inconnues en utilisant la méthode d’addition.

Exemple : Résoudre dans IR² le système d’équations suivants :

        -2x²+15y²= -460           10x²+6y²= 184

         6x²+15y² = 156         -10x²-25y²= -260

                -19x²= -304                   -9y²=  -76

                     X²=                          y²=

                     X= ±                      y²= 4

                     X= ±4                           y= ±

                                                          Y= ±2

S= {(4,2), (4,-2) ; (-4,2), (-4,-2)}

Résoudre dans IR², le système d’équations suivantes :

$\left\{ \begin{array}{rcr} x^2+y^2=40 & (1)\\ x=3y & (2)\\ \end{array} \right.$

Y²=40/10

$\left\{ \begin{array}{rcr} x^2+y^2=40 & (1)\\ x=3y & (2)\\ \end{array} \right.$      y² = 4

$Y= ±\sqrt[]{4}$

= ± 2

(2) dans (1)                      si y= 2

(3y)²+y²= 40                        x= 3.2 = 6

9y²+y²= 40                        si y= -2

10y²=40                                x= 3(-2)= -6

S= {(6,2) ,(-6,-2)}

$\left\{ \begin{array}{rcr} x^2-y^2=48 & (1)\\ x^2+y^2=50 & (2)\\ \end{array} \right.$

-x²+y²= -48                     x²-y²= 48

X²+y²= 50                       x²+y²= 50

2y²= 2                                 2x²= 98

  Y²=  2/2                              x²=  98/2

   Y²= 1                                 x²= 49

   Y= ±1$\sqrt[]{1}$                           x= ±$\sqrt[]{149}$

   Y = ±1                                  = ±7

S= {(7,1),(7,-1),(-7,1),(-7,-1)}

$\left\{ \begin{array}{rcr} x^2-y^2=161 & (1)\\ x-y=7 & (2)\\ \end{array} \right.$

Résoudre dans IR², les équations suivant :

$\left\{ \begin{array}{rcr} x^2+2y^2=43 \\ x^2-y^2=16 \\ \end{array} \right.$

X²+2y²= 43                             -x²-2y²= -43

2x²-2y²=32                             x²-y²= 16

     3x²=75                                -3y²= 27

     X²= 75/3                                y²= -27/3

     X²= 25                                   y²= 9

     X= ±                                        y=±     

     X= ±5                                     y= ±3

  S= {(5,3),(5,-3),(-5,3),(-5,-3)}

$\left\{ \begin{array}{rcr} x-3y=1 \\ x^2-2xy+9y^2=17 \\ \end{array} \right.$